大跨径悬索桥几何非线性分析简述
2018-05-21
0 引言
悬索桥又称吊桥，由悬索、索塔、锚碇、吊杆、桥面系等部分组成 。在有限元线性分析中假设：节点位移为无限小量；材料为线弹性，即材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；加载时边界条件的性质保持不变。当这三条假设中任意一条不能满足时，则必须考虑结构非线性。在受力本质上悬索桥属于柔性索悬挂体系，在正常设计荷载作用下，即使材料应力没有超过弹性范围，其荷载也呈现明显的非线性关系。所以在悬索桥设计计算中必须考虑非线性影响。
1 悬索桥几何非线性影响因素
从有限位移理论的角度来分析，悬索桥的非线性影响因素主要有以下三方面：
（1）荷载作用下的结构大位移
这是作为柔索结构的最主要的非线性影响因素。悬索桥在受外荷载作用时，不仅缆索及加劲梁发生下挠，而且吊杆也将伸长，索塔会压缩，吊杆还将发生倾斜，节点还有水平位移，凡此种种，都对悬索桥内力产生影响。因此在进行结构分析时，力的平衡方程应依据变形后结构的几何位置来建立。力与变形的关系是非线性的。
（2）缆索自重垂度的影响
在有限元法分析时，缆索单元常取为直杆单元，而实际在自身重力的作用下缆索具有一定的垂度缆索在受力后发生的变形是由弹性变形及垂度变化的非线性变形两部分组成，其变形值将比为直杆大。
（3）缆索初始内力的影响
缆索在恒载作用下具有一定的初应力，使其可以维持一定的几何形状。当后续荷载作用时，缆索形状发生改变，而初应力对后续状态的变形存在着抗力，反映了缆索的几何非线性性质。
2 悬索桥几何非线性分析方法及求解
悬索桥的分析理论，主要有不计几何非线性影响的线弹性理论，计及恒载初内力和结构竖向位移影响的挠度理论和充分考虑各种非线性影响的有限位移理论。有限位移理论是目前悬索桥结构分析中，理论上最严密精确和适用性好的较为完善的理论。
2.1几何非线性分析方法
2.1.1几何非线性分析的基本原理
应用虚功原理建立非线性方程时的拉格朗日列式法分为全拉格朗日式法与更改的拉格朗日列式法两种. 全拉格朗日列式法推导的几何非线性方程为
( [ K 0 ] + [ K R] + [ K D] ) {D} = [ K T ] { D} = {R}
式中, [ K T ] , [ K 0] , [ K R] 及[ K D] 分别为切线刚度矩阵、弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵及大位移刚度矩阵.
更改的拉格朗日列式法导出的几何非线性方程为
( [ K 0 ] t+ [ K R] t ){D} = [ K T] { R} = {R}
式中[ K 0] t 及[ K R] t 分别为t 时刻的弹性刚度矩阵及几何刚度矩阵.更改的拉格朗日列式法与全格拉朗日列式法相似, 重要区别在于没有大位移矩阵, 并且[ K 0 ] 及[ K R] 是在t 时刻物体域中进行积分, 而全拉格朗日列式法[ K 0]、[ K R] 及[ K D] 是在未变形前, 即t= 0时刻物体域上进行积分, 因此, 更改的拉格朗日式法在每一增量结束时,必须计算结构变形后新的坐标,弹性刚度矩阵[ K 0 ] 及几何刚度矩阵[ K R] 建立在已变形的t 时刻结构初始状态. 工程界俗称的非线性刚度矩阵法属于全格拉朗日列式法, 而拖动坐标法则属于更改的拉格朗日列式法.悬索桥主要是靠主缆的初始拉力来获得结构刚度,更改的拉格朗日列式法更适合于悬索桥的结构计算.
2.1.2基本步骤
采用更改的拉格朗日列式法及New ton-Rapshon 迭代法解非线性方程的基本步骤：
1) 以t 时刻的初始状态, 形成t 时刻的初始切线刚度矩阵[ K T] ,荷载矩阵{R} ; 解线性方程[ K T]0{D} = {R} , 得位移{D1} 及内力{F1} , 即为位移及内力的第一次近似值;
2) 依据{ D1} 计算结构各节点的新的整体坐标, 在新的坐标下形成弹性总刚[ K 0 ] 1及几何刚度矩阵[ K R]1;
3) 计算新的结点力向量{F( D1) } = [ K T ]1{ D1} ;
4) 计算不平衡力列阵{ ΔP1} = {R } - {F( D1 )} ;
5) 解方程[ K T ] 1 { ΔD1} = {ΔP } 1, 求出位移增量{ ΔD1 } , 得到位移的第2次近似值{ D2} ={D1 } + { ΔD1} ;
6) 检查收敛性, 若不满足, 返回步骤2) , 直至ΔDi/ Di≤为止.
2.2几何非线性平衡方程
2.2.1几何非线性平衡方程的建立
对于具有n 个自由度的弹性体系, 其非浅性平衡方程可表达为:
= ( , ,… ,)K=1,2，…，n
式中: 为外荷载向量的第k 个分量，为关于整体坐标的第k 个非线性函数；，，…，为整体坐标
2,2,2几何非线性平衡方程的求解方法
悬索桥几何非线性的基本计算方法：增量法、迭代法、混合法。
（1)增量法。
增量法是指荷载以增量的形式逐级加上去, 在每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的, 在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都由区间起点处的结构刚度算出, 然后利用求得的结点位移和杆端力求出相对于增量区间终点变形后位置上的结构刚度, 作为下一个荷载增量的起点刚度。
（2）迭代法
迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上, 结点位移用结构变形前的切线刚度求得, 然后根据变形后的结构计算结构刚度求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同, 产生结点不平衡荷载, 为了满足结点平衡, 将这些不平衡荷载作为结点荷载作用在结点上, 计算出相对于变形后的结点位移量, 反复这一迭代过程,直至不平衡荷载小于准许值为止。
（3）混合法
混合法结合了荷载增量法和迭代法的优点, 混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都是以增量的形式施加, 在每个荷载增量后对刚度作一次调整, 这样可以加快收敛速度, 对于斜拉桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。
2.2.3收敛准则
采用位移收敛准则和失衡力收敛准则同时控制迭代次数。
位移收敛准则要求所有节点第i 次迭代所得位移增量与总位数之比小至给定精度为止, 即: Max≤
失衡力收敛准则要求所有节点第i 次迭代所得失衡力与总荷载之比小至给定精度为止, 即: Max≤
参考文献
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