悬索桥主索鞍位置参数计算及程序实现
2018-03-26
1 引言
悬索桥是典型的柔性结构，索缆线形的精确计算非常重要，索鞍位置是悬索桥线形的重要组成部分。索鞍是大跨度悬索桥的重要构件，是悬索桥用于支撑主缆的永久性构件，是使主缆转向的一种构件。与桥跨相比，鞍座的尺寸虽然很小，但它直接约束着主缆的变形，任何状态下主缆必定与鞍座相切。在成桥状态下，须计算主缆与鞍座的切点，才能精确确定主缆的线形和鞍座的安放位置。
主索鞍安装于索塔顶部，承受主缆的竖向压力，并将主缆的竖向压力均匀地传递到索塔，使主缆在塔顶处平缓弯曲过渡，减小主缆通过塔顶的弯折应力。如果索鞍位置计算和安装位置不准确，就会影响成桥主缆的线形即主缆的无应力长度，从而影响桥面线形；还会引起桥塔偏位，改变塔的平衡状态；进而影响吊索索夹的定位、吊索的无应力长度等[1][2]。
2 计算假设及计算模型
对鞍座范围内的主缆计算假设如下：
(1)、主缆是理想柔性的，既不能受压也不能受弯，只能承受拉力；
(2)、主缆的材料符合胡克定律，其应力与应变呈线性关系；
(3)、主缆的横截面面积在外荷载作用下变化量十分微小，计算时忽略这种变化的影响。
图1 悬索桥圆弧索鞍解析计算模型
如图1所示悬索桥索鞍解析计算模型中，已知索鞍理论顶点（x0，y0），半径为R，在成桥理论线形计算中已计算出左跨主缆水平分力H1和竖向反力V1，右跨主缆水平分力H2和竖向反力V2。在确定索鞍的理论位置时，设左切点为（x1，y1），右切点（x2，y2），索鞍半径为R1、R2，圆心坐标为（x3L，y3L）、（x3R，y3R），（x0，y0）与（x1，y1）的长度为S1，（x0，y0）与（x2，y2）的长度为S2，Δ为索鞍圆心与索塔中心间的偏心距离。其中（x3L，y3L）、（x3R，y3R）表征了索鞍的位置，（x1，y1）和（x2，y2）表征了实际主缆在索鞍上的位置状况，w1、w2分别为索鞍左右跨主缆荷载。
对于上面的模型，由于靠近索鞍处S1、S2范围内无吊索，根据计算假定，此索段为悬链线，由力学关系和几何关系可得如下公式：
其中，公式(5)与公式(6)为左跨关于S1、R1的圆弧段圆心坐标，公式(7)与公式(8)为右跨关于S2、R2的圆弧段圆心坐标。
3 计算求解
通过公式(1)～(10)可确定索鞍的精确位置和主缆计算的修正参数，由式(1)～(10)组成的方程组为八元非线性方程组，可采用牛顿-拉斐森迭代法求解[3]。但由于求解八元非线性方程组过程中的迭代初值确定、迭代收敛的约束条件的确定等迭代求解过程较繁琐，且编程实现较复杂。
本文采用另一种求解算法，即设R1=R2=R，则按上述公式(5)～(8)从左右两侧推算的圆心坐标应分别相等，即公式(5)与公式(7)右侧相等，公式(6)与公式(8)右侧相等，从而得到一个关于S1和S2的二元非线性方程组。迭代求解即可解得S1、S2，再代入公式(1)～(6)，进而可求得所求圆弧。
根据以上结论，作者编制了索鞍位置计算程序，程序求解流程如图2所示。
图2 求解圆弧索鞍位置计算流程图
4 计算例证
根据上述的求解计算流程，通过给定的荷载状态，计算例证取某悬索桥的其中一个主索鞍，其理论顶点为（230m，131.425m），左右主缆面积为A1 = A2 = 0.408 973m2，左右主缆荷载=33kN/ m， 主缆弹性模量E = 198 000MPa。在成桥理论线形计算中已计算出索鞍左右主缆索力水平分量H1 =H2 = 189500kN，索鞍左右主缆索力竖直分量V1 = 90 622.7kN、V2 = 73 504.1kN[4]。采用本文的方法及程序计算出索鞍位置参数及主缆修正参数如表1。
表1 索鞍位置参数计算结果
项目 本文解（m） 文献5解（m）
x0，y0 （230.0，131.425） （230.0，131.425）
x1，y1 （227.661967，130.307433） （227.66167，130.30672）
x2，y2 （232.416134，130.488364） （232.41643，130.48765）
x3，y3 （230.248532，124.893591） （230.2485，124.893）
S1，S2 2.5914，2.59133
Δ 0.2485 0.2485
从上述结果可知，本文采用的方法及算法是可行的，计算精度能够满足使用要求。
5 工程实例
某装饰悬索桥跨径组合68+200+68m，采用双塔柱双索面结构，主缆跨过桥塔索鞍，两端锚固在锚碇上，主缆采用55根∅15.2环氧喷涂钢绞线缠包后热挤HDPE，索体外径190mm。吊索采用3根15.2mm环氧喷涂无粘结钢绞线，上端通过索夹固定在主缆上，下端通过锚具锚固在主梁梁底。横桥向两排索间距为31.04m，顺桥向索间距：边跨为（1×5.5+7×7.5+10）m，中跨为（10+24×7.5+10）m，共41对，合计82根索。根据上文的索鞍求解假设及计算理论，拟定索鞍结构尺寸如下图3所示。
图3 索鞍构造图
主索鞍理论顶点为（68m，40m），左右主缆面积为A1 = A2 =70.88cm2，左右主缆荷载=0.755kN/ m， 主缆弹性模量E = 198 000MPa。在成桥理论线形计算中已计算出索鞍左右主缆索力水平分量H1 =2730.1 kN，H2 = 2697.7kN，索鞍左右主缆索力竖直分量V1 = 1501.3kN、V2 = 1328.5kN。根据计算索鞍位置参数如下表2所示。
表2 某装饰悬索桥索鞍参数
项目 索鞍参数（m）
x0，y0 68,40
x1，y1 66.96034,40.42846
x2，y2 69.06522,40.4756
x3，y3 68.05846,38.43033
S1，S2 1.1864,1.1873
Δ 0.0581
从已建成的桥梁结构可知，根据上述参数设计的索鞍，能较好地满足设计要求。
6 结语
综上所述，对本文归纳总结如下：
（1）索鞍范围内悬索的计算是根据悬链线理论建立的，通过给定的荷载状态，索鞍的位置就可以确定；
（2）根据悬链线理论求解的鞍座参数解析解，采用鞍顶左右两侧到切点的弧长S1、S2为未知数，建立二元非线性方程组，采用迭代计算，可求解；
（3）通过算例证明了计算求解的正确性；并通过工程实例验证了计算结果。
参考文献：
[1] 雷俊卿,郑明珠,徐恭义等. 悬索桥设计[M].北京：人民交通出版社，2002.
[2] 范立础,潘永仁,杜国华. 大跨度悬索桥结构架设参数精细算法研究[J]. 土木工程学报,1999,32(6):20-25
[3] 唐茂林,沈锐利,强士中. 悬索桥索鞍位置设计[J].公路交通科技.2001.18(4):55-62
[4] Peyrot A H,Goulois A M. Analysis of Cable Structures[J]. Computer & Structures,1979,10(5)：805-813.
